@thatgermandude ist an folgender Aufgabe gescheitert.

Ein Teaser für Fortgeschrittene
Zu guter letzt möchte ich eine Aufgabe für alle die stellen, die bis hierhin gelesen haben und nur müde gähnen konnten: Beweise dass n^4 für jedes n Element N entweder auf eins, sechs, null oder fünf endet. Anders formuliert: warum hat n^4 nur zwei Restklassen modulo 5?

Ich bin an der Aufgabe selber gescheitert und kenne die Lösung nicht. Ich würde eine vollständige Induktion ansetzen, aber bis jetzt hilft mir das nicht weiter... Viel Spaß!

Macht @thatgermandude hier auf Fermat oder möchte er gerne eine Lösung wissen?

Egal, Herausforderung akzeptiert! ;)

Für jede natürliche Zahl n, endet n⁴ stets auf 0, 1, 5 oder 6

Den entscheidenden Tipp für meinen Beweis hat @thatgermandude mir schon geliefert. Wir werden den Modulorestklassenkörper K₅ benutzen. Da 5 eine Primzahl ist handelt es sich beim K₅ sogar um einen Galoiskörper.

Restklassenwas?

Modulorechnung ist im Prinzip Teilen mit Rest, nur dass man immer nur den Rest betrachtet.

Nehmen wir als Beispiel Modulo 7.

So ist zum Beispiel

30=2 mod 7.

Damit könnte man zum Beispiel berechnen welcher Wochentag in 30 Tagen ist. Da der Rest von 30 bezüglich 7 2 ist, müssen wir nur 2 Tage weiter zählen. Während ich schreibe ist gerade Freitag. Sprich in 30 Tagen ist Sonntag.

Das Beste ist mit Restklassenkörpern kann man sogar rechnen. Addition und Multiplikation ergeben immer das gleiche Ergebnis, sofern ich mit Zahlen rechne, die den selben Rest besitzen.

z.B. ist

8¹⁰⁰⁰=1¹⁰⁰⁰=1 mod 7,

da 8=1 mod 7.

Jetzt beweis doch endlich die Aussage

Im K₅ können wir die Reste 0, 1, 2, 3, oder 4 haben.

1. Sei n=0 mod 5.
   Es folgt:
   n⁴=0⁴=0 mod 5

2. Sei n=1 mod 5.
   Folglich gilt, dass
   n⁴=1⁴=1 mod 5

3. Sei n=2 mod 5.
   n⁴=2⁴=4²=(-1)²=1 mod 5

4. Sei n=3 mod 5.
   n⁴=3⁴=9²=(-1)²=1 mod 5

5. Sei n=4 mod 5.
   n⁴=4⁴=(-1)⁴=1 mod 5

Wir können also nur den Rest 1 oder 0 bezüglich Modulo 5 haben. Folglich endet n⁴ stets auf 0, 1, 5 oder 6.

q.e.d.