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ENGLISH
19-06-2025 - Operations Research - Optimality and Unboundedness [EN]-[IT]
With this post I would like to give a brief instruction about the topic mentioned in the subject
(code notes: X_89)
Linear Programming
image created with artificial intelligence, the software used is Microsoft Copilot
Introduction
Operations Research is a discipline that is applied to optimize decision-making processes using mathematical and statistical models and algorithms.
The approach to operations research becomes indispensable when decision-making processes are large and complex.
The areas in which operations research is most used are logistics, economics, business management and information technology.
Topics covered by operations research
image created with artificial intelligence, the software used is Napkin.ai
Below is a list of the topics that make up Operations Research.
-Linear Programming
-Integer and Mixed Programming
-Graph and Network Theory
-Queuing Theory
-Dynamic Programming
-Game Theory
-Simulation
-Combinatorial Optimization
The Fundamental Theorem of Linear Programming
Linear programming is performed to optimize a linear function subject to constraints. Within it, calculation processes are performed or transformations are performed through the simplex method, the duality method and through sensitivity analysis.
So we can say that linear programming is a part of operations research and that in turn it is divided into other areas of study. However, we have a fundamental theorem from which all linear programming arises.
The fundamental theorem of linear programming states that if a linear programming problem admits an optimal solution, then there exists at least one optimal solution in a vertex of the polyhedron of admissible solutions.
Optimality and Unboundedness
Optimality and unboundedness are two important criteria of practical interest to establish when a basic feasible solution (known) is optimal or allows us to conclude that the problem is unbounded.
The first consideration to make is therefore the following.
Since we assume that a basic feasible solution is known, the problem is non-empty and, therefore, either unbounded or admits one or more optimal solutions
Optimality
Regardless of the name that might frighten you, in practice optimality is nothing more than the best possible solution.
Why is the best possible solution in linear programming called optimality?
Because in reality optimality is the best possible solution, but in a very specific context. That is, let me try to explain better, optimality in linear programming is not only the best possible solution for a given problem, but it is something that refers to the objective function without ever losing sight of it and respects all the constraints of the problem without excluding any.
Technically, we can say that optimality is a feasible point in which the objective function reaches its maximum or minimum value respecting the given problem.
NOTE: The objective function is the objective that one wants to achieve by examining a linear programming problem. A concrete example of an objective function could be the maximization of profit or the minimization of a cost.
Unboundedness
A particular case of linear programming is precisely unboundedness.
When the objective function can grow or decrease to infinity and still respects all the constraints of the linear programming problem, the condition of unboundedness occurs.
To further simplify the concept, a linear programming problem has the characteristic of unboundedness when there is no finite maximum or minimum value for the objective function.
Example of unlimitedness
image created with artificial intelligence, the software used is Microsoft Copilot
Let's suppose to maximize the following objective function:
z = x1 + x2
and that it must respect the following constraints.
x1 - x2 >= 0
x1,x2, >= 0
We can note that in this situation we can increase x1 and x2 in an unlimited manner while respecting the first constraint that we want to respect, that is, x1 >= x2.
So, in the end in this case we have that Z = ∞ (infinity)
Conclusions
We can conclude by saying that operations research is a discipline that becomes extremely useful when decisions must be made in complex situations and especially when resources are limited.
Question
Did you know that in the field of logistics linear programming is a very important discipline? Did you know that linear programming applied to logistics allows you to minimize costs, study the shortest and most convenient routes in order to make transport trips more efficient?
ITALIAN
19-06-2025 - Ricerca operativa - Ottimalità e illimitatezza [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(code notes: X_89)
La programmazione lineare
immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è Microsoft Copilot
Introduzione
La Ricerca Operativa è una disciplina che viene applicata per ottimizzare i processi decisionali utilizzando modelli matematici, statistici e algoritmi.
L’approccio alla ricerca operativa diventa indispensabile quando i processi decisionali sono ampi e complessi.
Gli ambiti in cui si utilizza maggiormente la ricerca operativa sono la logistica, l’economia, la gestione aziendale e l’informatica.
Argomenti tratta dalla ricerca operativa
immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è Napkin.ai
Qui di seguito un elenco degli argomenti che compongono la Ricerca Operativa.
-Programmazione lineare
-Programmazione intera e mista
-Teoria dei grafi e reti
-Teoria delle Code
-Programmazione dinamica
-Teoria dei giochi
-Simulazione
-Ottimizzazione combinatoria
Il teorema fondamentale della programmazione lineare
La programmazione lineare si esegue per l’ottimizzazione di una funzione lineare soggetta a vincoli. All’interno di essa si eseguono dei processi di calcolo o si eseguono delle trasformazioni attraverso il metodo del simplesso, metodo della dualità e attraverso l’analisi di sensibilità.
Quindi possiamo dire che la programmazione lineare è una parte della ricerca operativa e che a sua volta si divide in altri settori di studio. Però abbiamo un teorema fondamentale da cui nasce tutta la programmazione lineare.
Il teorema fondamentale della programmazione lineare afferma che se un problema di programmazione lineare ammette una soluzione ottima, allora esiste almeno una soluzione ottima in un vertice del poliedro delle soluzioni ammissibili.
Ottimalità e illimitatezza
Ottimalità e illimitatezza sono due importanti criteri di pratico interesse per stabilire quando una soluzione di base ammissibile (nota) sia ottima oppure permette di concludere che il problema sia illimitato.
La prima considerazione da fare è quindi la seguente.
Dal momento che assumiamo che sia nota una soluzione di base ammissibile, il problema è non vuoto e, quindi o è illimitato o ammette una o più soluzioni ottime
L’ottimalità
Indipendentemente dal nome che potrebbe spaventare, in pratica l’ottimalità non è altro che la miglior soluzione possibile.
Perché la miglior soluzione possibile in programmazione lineare viene chiamata ottimalità?
Perché in realtà l’ottimalità è la migliore soluzione possibile, ma in un contesto molto preciso. Cioè, provo a spiegarmi meglio, l’ottimalità in programmazione lineare non è solo la miglior soluzione possibile per un problema dato, ma è qualcosa che fa riferimento alla funzione obiettivo senza mai perderla di vista e rispetta tutti i vincoli del problema senza escluderne nessuno.
In maniera tecnica possiamo dire che l’ottimalità è un punto ammissibile in cui la funzione obiettivo raggiunge il suo valore massimo o minimo rispettando il problema dato.
NOTA: La funzione obiettivo è l’obiettivo che si vuole raggiungere esaminando un problema di programmazione lineare. Un esempio concreto di una funzione obiettivo potrebbe essere la massimizzazione del profitto o la minimizzazione di un costo.
L’illimitatezza
Un caso particolare della programmazione lineare è proprio l’illimitatezza.
Quando la funzione obiettivo può crescere o decrescere all’infinito e comunque rispetta tutti i vincoli del problema di programmazione lineare si verifica la condizione di illimitatezza.
Per semplificare ulteriormente il concetto, un problema di programmazione lineare ha la caratteristica di illimitatezza quando non esiste un valore massimo o minimo finito per la funzione obiettivo.
Esempio di illimitatezza
immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è Microsoft Copilot
Proviamo a supporre di massimizzare la seguente funzione obiettivo:
z = x1 + x2
e che debba rispettare i seguenti vincoli.
x1 - x2 >= 0
x1,x2, >= 0
Possiamo notare che in questa situazione possiamo aumentare x1 e x2 in maniera illimitata pur rispettando il primo vincolo che vogliamo rispettare, cioè quello di x1 >= x2.
Quindi, alla fine in questo caso abbiamo che Z = ∞ (infinito)
Conclusioni
Possiamo concludere dicendo che la ricerca operativa è una disciplina che diventa estremamente utile quando si devono prendere delle decisioni in situazioni complesse e soprattutto quando si hanno risorse limitate.
Domanda
Lo sapevate che nel campo della logistica la programmazione lineare è una disciplina molto importante? Lo sapevate che la programmazione lineare applicata alla logistica permette di minimizzare i costi, studiano i percorsi più brevi e quelli più convenienti in modo da efficientare i viaggi di trasporto?
THE END