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Leopold Kronecker
Los números naturales son las primeras y más naturales medidas de cantidad; sin embargo, supongamos que tenemos más de uno de algo pero menos de dos.
Está claro que necesitamos cantidades fraccionarias para hacer esas mediciones.
Las fracciones nos permiten medir cualquier cantidad con el grado de precisión deseado.
En principio, podríamos medir una longitud con una precisión de una millonésima de pulgada. Pero, ¿hay longitudes que ni siquiera la fracción más precisa puede medir con exactitud?
En concreto, ¿es todo número una fracción?
Esta cuestión de la medición de las longitudes desafió a los antiguos griegos y les obligó a llegar a una conclusión totalmente contraria a la intuición sobre las longitudes que más tarde condujo a una noción totalmente nueva de número.
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Este descubrimiento de los griegos, es otra poderosa ilustración de nuestro tema principal: Haciendo preguntas claras y examinando lo familiar de forma cuidadosa y lógica, se puede descubrir la riqueza oculta.
¿Todos los números son fracciones?
Para responder a esta pregunta hacemos una suposición y seguimos las consecuencias de hacerlo. Dejándonos llevar por la lógica, suponemos que toda longitud puede medirse exactamente como una fracción, y luego vemos qué otros resultados nos veríamos obligados, por lógica, a aceptar. Explorar las consecuencias lógicas de una suposición es una forma valiosa de determinar si la suposición es razonable.
Los antiguos griegos, y probablemente la gente antes que ellos, idearon un método razonable para medir partes de cosas.
Si tomamos un objeto y lo dividimos en 10 partes iguales y cogemos 9 de esas partes, entonces hemos medido nueve décimos.
En teoría, podríamos tomar un objeto, romperlo en un millón de pedazos y tomar 375.687 de ellos y obtener 375.687 millonésimas. Así que, si tomamos un número suficientemente grande de trozos, podemos medir partes de las cosas con el grado de precisión que queramos; desgraciadamente, incluso así podemos no acertar.
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Los griegos pensaban que los números naturales eran regalos naturales de los dioses. Los cocientes de esas esencias numéricas junto con sus negativos y el cero producen los números racionales.
Un número racional, por tanto, es un número que se puede escribir como una fracción a/b ó -a/b en la que a y b son números naturales ó a = 0.
Para acostumbrarte a esta idea, encuentra un número racional entre 1 y 2.
Ahora encuentra un número racional entre 1001/1003 y 1002 / 1003.
¿Por qué siempre hay un número racional entre otros dos números racionales cualesquiera?
Fíjate en que, aunque dos números racionales diferentes estén muy próximos, siempre podemos encontrar muchos (de hecho, infinitos) números racionales entre ellos.
Dado que podemos dividir las cosas en tantos trozos iguales como queramos, parece razonable conjeturar que todos los números son racionales, lo cual es paralelo a las creencias de los primeros griegos.
Los antiguos griegos consideraban los números naturales como números divinos. Un cociente de números naturales (es decir, una fracción o un número racional) no era, a ojos de los antiguos griegos, un número puro, sino una combinación de dos números auténticos. Creían que toda longitud tiene una medida que es un número natural o un cociente de números naturales.
Dadas las observaciones comunes y las experiencias de la vida, esta idea parece natural y racional.
De hecho, la teoría atómica de la materia y la mecánica cuántica sugieren que la materia tiene un límite de divisibilidad y, por tanto, para los objetos físicos, puede haber un número específico de unidades indivisibles que componen el objeto.
Así, si rompemos un objeto en dos de forma arbitraria y queremos medir el tamaño de cada trozo, contaremos el número de partículas de un trozo y dividiremos ese número por el número total de partículas del objeto original para ver qué fracción del objeto tenemos.
Por supuesto, las matemáticas no están limitadas por la mera realidad física. La realidad física es sólo el punto de partida de las matemáticas.
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Espero que les haya gustado este interesante tema acerca de la ¿Hay números más allá de las fracciones?, no te pierdas las próximas publicaciones donde abordaré otros temas interesantes.
