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La investigación en matemáticas financieras es el motor de una gran variedad de aplicaciones numéricas:
- estimación de parámetros,
- calibración de modelos de valuaciones,
- análisis de sensibilidad,
- cobertura en mercados incompletos,
- riesgo crediticio,
- cuantificación del riesgo y la incertidumbre,
- optimización de carteras
entre otros, una lista inmensa de aplicaciones. Resistiendo a la tentación de de abarcar un abanico de aplicaciones lo más amplio posible, se puede centrarse en una especialmente interesante, a saber, la fijación de precios y la cobertura de instrumentos.
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Esta es motivada por el hecho de que los problemas de de parada óptima ofrecen un banco de pruebas único para la investigación que va más allá de los de las finanzas matemáticas, en la encrucijada del control estocástico y la investigación operativa. En consecuencia, los métodos numéricos desarrollados para estos problemas específicos pueden extenderse en general a una amplia gama de otros problemas de control estocástico.
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La investigación de los métodos de partículas interactivas se ha convertido en un área muy activa de investigación en el ámbito de la informática científica. Estos métodos tienen sus raíces en el trabajo pionero de Feynman y Kac en la física de altas energías hace más de medio siglo.
La formalización sistemática de estas ideas en una teoría matemática rigurosa es más reciente, data esencialmente de la década de 1990. Ahora se utilizan en una gran variedad de ámbitos, como:
- la estimación y simulación de eventos raros,
- el filtrado y
- la optimización estocástica.
Sin embargo, el desarrollo y las aplicaciones de estos algoritmos a problemas matemáticos financieros está todavía en su fase inicial.
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Existe varios problemas numéricos importantes encontrados en las finanzas que los mismos pueden reducirse al cálculo de las expectativas de Feynman-Kac. Los principales principios y resultados de esta teoría subyacen en los métodos numéricos de partículas interactivas, y ellos se aplican a la valoración de opciones europeas y americanas, y al análisis de sensibilidad. En las finanzas cuantitativas, los modelos de volatilidad estocástica son un ejemplo natural de sistema parcialmente observado, y las técnicas de filtrado se han utilizado a menudo para analizar estos modelos.
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En este sentido podemos mencionar dos contribuciones importantes en está línea que hemos mencionado, a saber:
La contribución de B. R. Rambharat, el cuál introduce una nueva metodología de filtro de partículas para valorar opciones de tipo americano sobre inversiones subyacentes gobernadas por modelos de volatilidad estocástica parcialmente observados. A diferencia de la mayoría de las investigaciones sobre valoración de opciones americanas, que suponen que todas las fuentes de aleatoriedad son totalmente observables, diseña un algoritmo de fijación de precios para modelos estocásticos de evolución de activos con información parcial sobre el proceso de volatilidad. La inferencia posterior sobre estas variables no observables se lleva a cabo mediante una metodología secuencial de Monte-Carlo.
La contribución de M. Ludkovski, quein presenta una metodología híbrida para resolver problemas de control estocástico con observaciones parciales, basándose en técnicas modernas de de partículas combinadas con procedimientos de regresión del tipo Longstaff-Schwartz. Esta contribución se inscribe en el espíritu de la exhaustiva discusión de los métodos de estimación de partículas.
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En próximas entregas, les seguire ampliando un poco más el tema, conversando un poco más de la historia las matemáticas aplicadas a las finanzas, así com de sus metodos de aplicación. Si alguno está interesado en leer y ampliar más el tema, los invito a leer los siguientes libros:
- A. Doucet, J. F. G. de Freitas and N. J. Gordon (eds.) Sequential Monte Carlo Methods in Practice. New York: Springer-Verlag, 2001.
- G. Allaire. Numerical analysis and optimization: An introduction to mathematical modelling and numerical simulation (Numerical mathematics and scientific computation). Oxford university Press, USA, 2007
