Comencemos con la adición de polinomios, la cual es una operación que cumple con las propiedades de: conmutatividad, asociatividad, existencia del elemento neutro y del opuesto o simétrico.
La adición de polinomios se define así:
Dados los polinomios:
Entonces:
Donde el polinomio suma tendrá el grado del polinomio sumando que tenga mayor grado o el mismo grado de los sumandos si estos tienen el mismo grado.
Primer ejemplo:
Dados los polinomios:
Hallar P(x)+ Q(x)
Observe que ambos polinomios tienen el mismo grado 3, entonces el grado de P(x)+ Q(x) también es 3.
Veamos:
Segundo ejemplo:
Dados los polinomios:
Observe que el polinomio P(x) tiene grado 3 y Q(x) también es 2, entonces el grado de P(x)+ Q(x) es 3.
Veamos:
En cuanto a las propiedades de la adición de polinomios, podemos afirmar que:
Es muy sencillo probar que P(x)+ Q(x)= Q(x)+ P(x), ya que la adición de polinomios es conmutativa. El lector podrá validar estos resultados con cualquier ejemplo.
Verifiquemos la propiedad asociativa.
Consideremos los siguientes tres polinomios:
Queremos verificar que [P(x)+Q(x)]+R(x)= P(x)+[Q(x)+R(x)]= [P(x)+R(x)]+Q(x)
Comencemos con:
Primero resolvemos las operaciones que se encuentran agrupadas dentro del corchete; en este caso, eliminamos los paréntesis y reducimos los términos semejantes, es decir sumaremos los monomios de igual grado:
Eliminamos los signos de agrupación; es decir, corchetes y paréntesis:
Siguiendo este mismo modelo, el lector podrá verificar que:
Elemento neutro
Existe un polinomio que llamaremos O(x) tal que para cualquier polinomio P(x)+O(x)=O(x)+P(x)
Tal polinomio es el POLINOMIO NULO
El Polinomio Nulo es un polinomio cuyos coeficientes son todos iguales a 0; es decir, O(x)=0
Existencia del OPUESTO O SIMETRICO.
Para todo polinomio P(x) existe un polinomio –P(x) tal que: P(x)+[-P(x)]=-P(x)+P(x)=O(x)
Ilustremos con un ejemplo:
Consideremos el siguiente polinomio:
Entonces
De tal forma verificamos que:
Hasta aquí la adición de polinomios y sus propiedades, esperamos que haya dentro de la comunidad alguien a quien le sea de utilidad este post.