Introducción a los Modelos Matemáticos en Biología y Modelo Poblacional de Malthus 📈

• Analizar la relación existente entre dos variables
• Comprender los fenómenos naturales, físicos y sociales.
• Predecir el valor de variables
• Construir hipótesis
• Evaluar los efectos de una determinada política o actividad

De igual manera, es importante resaltar que un modelo matemático presenta los siguientes elementos: parámetros, variables, relaciones entre variables, restricciones, representaciones simplificadas, y también existen diversos tipos según su utilidad, tal como lo vemos en el cuadro que se presenta a continuación:

Continuando con el tema, puede resultar propicio hacernos la siguiente pregunta ¿Qué tópicos de matemática se necesita saber para estudiar y comprender los modelos en Biología? Para responder la pregunta se realizó un estudio acerca de los programas de estudio de algunas universidades como lo son la Universidad Autónoma de México y la Universidad Autónoma Metropolitana.

Ambas universidades convergen en una matemática básica, comenzando con conjunto de números, leyes de los signos, números racionales; también porcentajes, razones y proporciones (en este tema se trabaja con ejemplos de concentraciones, biomasa, salinidad y hacer discusión de un modelo de crecimiento porcentualmente constante por unidad de tiempo, como lo es el decaimiento radiactivo.

También, se encuentran inmersas dentro de los planes como contenido esencial funciones lineales, composición de funciones, funciones potencia, exponencial y logarítmica, dándole a esto un enfoque más experimental e introducir a los estudiantes a lo que son los modelos. De igual manera, es necesario comprender la definición y propiedades básicas de la probabilidad, teoría combinatoria (combinaciones, permutaciones, ordenaciones) con el fin de abordar ejemplos relativos a las Leyes de Mendel, presencia de caracteres hereditarios en poblaciones, ente otros.

Por otra parte, los elementos del algebra lineal, como vectores, estadística desde el punto de vista geométrica, resultan útiles para el estudio y modelación de fenómenos biológicos. Mediante el cálculo diferencial e integral también se pueden establecer aplicaciones relevantes para las ciencias biológicas.

Dentro del cálculo diferencial e integral, resaltan los estudios básicos de límite, introducción a la derivada, estudio de la segunda derivada para hallar máximos y mínimos con ejemplos del sistema vascular; la antiderivada, integrales de funciones, técnicas de integración que también resultan imprescindibles para llegar a la introducción de un modelo matemático. No obstante, existe una rama de la matemática esencial para el estudio del modelaje matemático en biología y es la Bioestadística, que no es más que todos los conceptos de estadística aplicada a la Biología, de hecho, la estadística se considera como la bola de cristal que ayuda a predecir el futuro.

Ahora conoceremos algunos modelos en Biología resaltando sus fundamentos matemáticos. El primero de ellos es a un criterio muy personal el más conocido, se trata del Modelo Malthus o también llamado modelo de crecimiento exponencial simple. Este modelo poblacional resalta que una población va doblando cada 25 años, si no hay algún obstáculo que se lo impida, es una progresión geométrica; sin embargo, el autor del modelo decía que los medios de subsistencia en las mejores circunstancias, no lograban aumentar de la misma manera sino más bien en una progresión aritmética. También se utiliza este modelo para trabajar con el crecimiento de algunas especies, como por ejemplo el crecimiento inicial de bacterias sobre un sustrato rico en nutrientes donde las bacterias pueden crecer y reproducirse sin ningún tipo de restricción.

Como el modelo de Malthus es esencialmente un crecimiento exponencial basado en una función de proporcionalidad con respecto a la velocidad con la que crece la población, se puede expresar de la siguiente manera:

En esta expresión, r es la tasa de crecimiento de la población, también llamado parámetro malthusiano de crecimiento de población. De igual manera, este modelo también se puede expresar con la siguiente ecuación diferencial:

Ahora bien, ¿Qué principios matemáticos se deben conocer para entender el modelo de Malthus? Para comprender de mejor manera dicho modelo, debemos hacer uso de una matemática básica, como las operaciones esenciales (suma, resta, multiplicación y división), ecuaciones algebraicas, propiedades de la potenciación, funciones, grafica de funciones lineales y lo mas importante de todo son las funciones exponenciales. También, se necesita conocer sobre el cálculo diferencial e integral para trabajar con su ecuación diferencial.