자 지난 포스트 : [수학, 계산] Euler-reflection formula - 버전1 : Basel problem 을 이용한 풀이
에서 Euler 의 reflection formula 를 구하는 한가지 방법을 알아 봤습니다. 오늘은 2탄으로 복소적분을 이용한 풀이를 소개해 볼까 합니다. 이 적분 풀이를 위해서 새로운 함수, 베타 함수가 등장합니다.
먼저 감마함수와 베타함수의 정의는 다음과 같습니다.
베타함수와 감마함수는 아래의 관계식을 만족합니다.
그냥 넘어가기 그러니 한번 증명해 보죠
먼저 베타함수를 변수 변환을 통해 t=s/s+1 로 치환하여 간단히 해보면
그러면
이 식 중간엔 사실 다음과 같은 변수변환이 있었죠
아무튼 위의 계산을 통해 우리는 다음과 같은 식을 얻었습니다.
자 이제 문제는 우변의 적분을 계산하는 것인데요. 여기서 복소함수 적분 기술이 들어갑니다. [이와 관련된 적분은 종종 복소함수, complex variable 책을 보면 예제나 연습문제에 종종 등장하는 문제입니다. 칸투어롤 고르는 방법부터 적절한 함수를 정하는 것 등 이것도 여러 방법으로 해당 적분을 계산할 수 있습니다. 그 중 한가지 방법을 소개합니다]
큭 이 칸투어에 대해서 한국말로 설명해야 할까 하다가 영어로 만든 노트 원본을 그냥 가져와 버렸습니다. 자 이제 R 을 무한대로 epsilon 을 0으로 보내는 극한을 취해 보면 먼저 x 값의 범위가 0과 1 사이기 때문에
따라서 이런 조건에서 위 식은
즉 정리해 보면
최종적으로 원하던
식을 얻습니다.
저 적분 값을 구하는 것에는 복소 적분 방법이 아닌 미분방정식을 이용한 풀이가 있습니다. 그렇습니다 그것이 3번째 방법이 되겠습니다. ㅎㅎ Dedkind 가 처음 제시한 방법입니다. 조금 복잡하긴 한데 한번 다음 포스트를 기대하시길~~~