지난 포스트들(방법1, 방법2)을 통해 위 식의 증명 방법에 대해서 다루어 봤습니다. 오늘은 그 마지막 세번째 방법, 미분방정식을 이용한 풀이로 Dedkind 의 1853년 "Uber ein Eulersches Integral. Journal fur die reine und angewandte Mathematik" 에 실린 방법을 소개해 볼까 합니다.
처음 시작은 지난 두번째 포스트와 거의 똑같습니다. 바로
이 적분부터 시작합니다. 지난번 포스트에는 복소 적분을 이용하여 우변을 계산하였다면 Dedkind 는 이 적분을 좌변이 만족하는 특정한 미분방정식을 찾고 그 해를 구하므로써 같은 식을 유도해 냅니다.
이 phi(x) 가 만족하는 비선형 미분방정식은
입니다. 여기서 ' 임은 x 에 대한 미분을 나타냅니다. 이를 증명하는 가장 좋은 방법은 phi(x) 에 Gamma(x) Gamma(1-x)를 넣어서 위 식이 만족하나 아니냐를 확인해 보는 방법이죠. ㅋㅋㅋㅋ 이 방정식을 유도하는 것 혹은 직접 넣어서 결과를 확인해 보는 것도 생각보다 많은 계산을 요구합니다.
일단 지금 이 포스팅에서 저의 관심사는 저 미분방정식의 해가 pi/sin(pi x) 라는 것이라 저 미분방정식을 구하는 부분은 생략합니다. 그냥 미분해서 성립하는지 보이는 작업입니다. [관심이 있으신 분은 댓글 혹은 스팀쳇(?-아직 한번도 안써봐서 모르겠군요) 으로 연락 주시면 ~~]
위 미분방정식은 2번 미분이 들어간 방정식이기 때문에 미분방정식을 정확하게 풀기 위해서는 최소한 2개의 초기값 정보가 필요합니다. 바로
자 이제 미분방정식의 형태를 바꾸는 작업을 해봅시다. 먼저 식을 변형해
자 이제 각 항들의 변형을 해보도록 합시다.
자 이제 이 식들을 위에 대입해서 전개해 보면
자 이제 위 식을 적분을 할 수 있게 만들어 봅시다.
여기서 미분에 관한 초기값 조건을 넣으면 C 값을 얻을 수 있습니다.
이제 위 식을 재정리하면
자 이제 x에 대해서 적분을 해보면
을 얻고 초기값과 삼각함수 성질을 이용하면
바로 처음에 구하고자 했던 식을 얻습니다!!!
이번 포스트까지 해서 3가지 방법으로 Euler reflection formula 를 구해 보았습니다. 여러가지 테크닉을 선보였지만 역시 가장 간단한 basel problem 을 이용한 풀이가 머릿속에 오래남는군요 ㅎㅎ